每日思考__清风阁

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让我们拥有: 一双能用数学视角观察世界的眼睛, 一个能用数学思维考虑世界的头脑, 一副为谋国家富强人民幸福的心肠!

文章

给教师的22个建议　（作者置顶）

第一条明确你自己的职业特点

走出师范的大门的时候，我们每个人脑子里装的是教师职业是"阳光下最灿烂的职业"和我们是"人类灵魂的工程师"的观点，当我们真正走进教师队伍之后，很快会发现实际情况远非如此，我们的职业只是三百六十行中普通的一行，无所谓灿烂不灿烂，更谈不上是什么"人类灵魂的工程师"，我们从事的这份工作，只是借此养家糊口、赖以生存而已。与其它的热门职业相比，我们所从事的职业有时还显得特别地低贱。

降低你对职业的期盼，这样你都会脚踏实地地做好自己的工作。

第二条　　永远不要说校长的坏话

虽然我们的工资是由财政拨款的，但你不要忘记实质上是校长签发的。当你用自己的长处与校长的短处相比时，你会觉得校长不如你，最常见的比法就是校长教书不怎么样，但校长却有你永远也比不过的特长。如果只用自己的长处去指责他人的短处，除了说明你的无知外，再就只能说明你在干着缩小自己活动空间的蠢事。

特别提醒的是，当你希望有人与你一同说校长的坏话时，你大概已无可救药了。

第三条　　尽量避免与"工作狂"教同一个班级

我绝无贬低那些对工作负责的同事，但我们确实应该努力避免与那些视时间就是质量的同事共教一个班级，这倒不是因为他们很优秀，而是因为他们可以毫无节制地挤占学生的学习时间。学生的学习时间是一个常数，他挤占了更多的时间，必定是以牺牲你所教学科的时间为代价的，到头来，学生的总体成绩不大可能很理想，但他可能较为突出，你却较为平庸。不是你怕平庸，而是你很可能不值。

第四条　　每年资助一名贫困生

在你的学生中，一定会有一些相对的贫困者，你每年可从中选择一名资助者，用不着全额资助，你可不用太多的花费，提供学生的学习用品，那怕只是一些草稿纸也行。请你不要将你的行为理解为仅仅只是一种资助，实际上，这种行为能让你更多地关注你的学生，增强师生之间的交融性，在这种"资助"过程中，你会发现，你的收益将远大于你的支出。

第五条　　永远不要低估你眼中的差生

　这世界原本没有差生一说，只是由于评价标准的差异，导致了我们眼中差生的产生。但我们不论什么时候都不要低估了眼前的差和生。因为，眼前的差生能够让你的讲课无法进行下去，你犯不着如此，而差生的未来，也许是你永远也赶不上去的；所以，不要用言语去讥讽他们，诱发他们的叛逆精神。

第六条　　别与他人攀比

不论你是与中学同学还是与大学的同学相比，可以肯定地说，你是比上不足，比下有余的。但你却很容易只将眼光盯着那些在事业、爱情以及拥有的财富比你强的同学，而这种比较即让你感到浮躁，同时也有失你的信心，让你的心情灰溜溜的。

其实，你虽不是最成功的，但你肯定不是失败者，用不着灰心丧气。

第七条　　别让自己成为新文盲

你以知识为载体，让一块黑板，一支粉笔成为你驰骋空间缰索。但这世界变化得比我们想象要快得多，因为你昨天也许才将WINDOW　98橾练熟悉，可恼他人今天使用的却是WINDOW　XP。经过一段安稳而平静的教书生活后，我们不仅对新知识会感到欠缺，而且对新知识还有一种习惯性的拒绝。

在这个知识爆炸的时代，我们应是一个学习狂。

第八条　　将教师视为你的终身职业

也许你还没有走上教师岗位的时候，就已经想到了要跳槽，你也许会作各种努力，但成功的可能性并不是太大。如果你在30岁以前还未跳出教师队伍的话，那么你就必须将这一职业视为终身职业。又由于你跳出的可能性并不太大，因此即便是30岁以前，你在尝试着跳槽的同时，你也不要放弃手上的工作。

第九条　　坚持阅读

经常阅读报刊、阅读网络，能能够让你对世界保持一种新鲜感。经常阅读经典，能促使你不停地思考。对世界保持新鲜感，能够使你的观点不落后于学生。同时，你会从这世界的时事、体育、娱乐新闻中找到与学生交流的话题，从而增加彼此的交融性。阅读经典，会在无形中提升你的品位，强化你的人格魄力，从而在中影响你的学生。

第十条　　在床头准备好笔与本

做一个思考的老师，而思维的火花往往会在你上床后的那一瞬间，或者是在你醒来的那一时刻，有时甚至是在凌晨乃至你的睡梦中闪亮，在你的床头放一本记事本和一支铅笔，迅速地记录你思维的火花，这有助于你自身的提高，最终提升你自己。

第十一条　　要学一点幽默

幽默是生活的润滑剂。谁都不希望自己面前站着一个整天板着面孔的人，学生更是如此。

掌握一点幽默的艺术，既放松学生的心情，同时也让学生走近了你。但幽默应止于讥讽，因为讥讽会伤害一部分学生，同时幽默也应止于无聊的调笑，因为这样会导致学生"乐"而不学。

第十二条　　在考试前许一个愿

我们不是有神论者，但我们也应该清楚天意难违。所以，我们不要忘记在大考前对学生许个愿，对学生说上天会保佑他们的，这上天是神也可、是菩萨也可、是上帝也可，但不论是什么，你的心都必须是虔诚的。

事实上，上天会保佑我们每个人。

第十三条　　学会原谅自己与别人

学生用他的无知与偏执让你生气，家长因对孩子的偏爱与袒护让你动气，领导因对你的误解让你怄气，而自己有时也对自己无端地不满意，低着脑袋生自己的闷气，这些汇集到你身上是恶气攻心。

气生了不少，但问题没有得到一点解决，所以，你得学会原谅，学会宽容，原谅与宽容让你生气的人与事。

第十四条　　让学生摸得着你的关注

你不一定爱你的学生，但你既然从事了这一职业，就应承担你相应的责任，你得关注学生的学习与成长，而且，你不要将关注仅仅停留在意识里，而应让学生摸得着，感觉得到。你拾起学生掉在地上的橡皮，耐心回答学生的提问，常与学生个别谈心，甚至只是走道里的一声问候，这些都是能让学生摸得着的关注。

第十五条　　不要吝啬赞赏的语言

就是成年人，也希望得到别人的赞赏，何况是尚未成年的学生呢？所以，对待尚在成长过程中的学生，你不要永不满足，你要学会发现学生的特长与其成功之处，并给予充分的肯定；同时，当学生正确地回答了你的问题，或者提出了一个好的创意，甚至是一个小小的善举，你都要用愉悦人心的语气对他给予真诚的赞赏。

你赞赏学生的成功，学生会再还你一个惊喜。

第十六条　　将惩罚进行到底

对学生进行赏识是教育的组成部分，但并不是教育的一切。没有惩罚的教育是不完整的教育，不要相信爱与赏识能解决一切问题的教育观点，而应该坚持惩罚是教育不可缺少的组成部分。

对于顽皮的学生，不要轻易地放弃，对其违规的行为，不要听之任之，应当给予合理的教育，这时批评与惩罚应是不可缺少的教育手段。但一定不要将惩罚上升为体罚。

第十七条　　学会控制自己的情绪

当你准备批评你的学生时，你要学会控制你的情绪，千万不要让情绪左右了你的言行。事实上，只有你完全控制了自己的情绪，你才能在面对让你厌恶的学生时，仍能面带微笑；而当你对学生暴跳如雷时，并不能表明你真的控制不了自己，事实上此刻的你也许心静如水。

这不是虚伪，而是一种心理战，好的老师肯定会如此与学生斗智斗勇。

第十八条　　不要高估了自己的作用

考试分数公布后，人们关注的是考生的总分，这实际上是告诉人们，教育的效果是有一定的群体性的。所以，在任何时候，你都不要夸大你在教育学生过程中的作用。再说，优秀的学生并不完全是靠教师教出来的，在很大程度上，学生的成功取决于他先天的素质，就象牛顿绝不是他的老师教出来的一样。

第十九条　　每天一片"金嗓子"

警察腰间总别着一只枪，医生脖子上总挂着听诊器，老师的口袋中应装着"金嗓子喉片"，其用途当然是再清楚不过了的。另外，你每天最好喝六杯水，用30分钟的时间在球场上跳动一下，在幽静的小道走动一下，舒活舒活筋骨，抖擞抖擞精神，放松自己的躯体，其作用也不必多言。

第二十条　　承认衰老

人总是要衰老的，但对老师而言，衰老对教师教学状态的影响太过明显了。

当老师是不同于当医生的，医生是越老越吃香，而老师，那怕曾经是非常优秀的教师，等到他临近退休时，他的教学几乎不可能受到学生的欢迎。究其原因，面对病人，医生有足够的时间来诊断、分析，丰富的经验能帮助他对病人的断病情做出正确的判断；而面对学生，老师的讲授应该是行云流水，回答学生的问题应是对答如流，而衰老显然会让你力不从心。

尽管你会想方设法延缓你的衰老，但你必须明白，老师在某种意义上也是吃"青春饭"的。所以，你年轻时无论如何都得尊敬老教师。

第二十一条　　不要奢求额外的回报

教书作为你的职业，薪水就是你的回报。你也许在正常的教学工作之外还付出了许多，但这也只体现了你是一位将责任放大的老师，但你并不能因为放大了责任而又追求更多的回报。就象农民不应奢望穿上自己种植的棉花织成的衣服、建筑工人不要奢望住上自己建筑的房子一样，老师不要奢望学生今后会对你有额外的回报，那怕只是一张小小的贺卡。

第二十二条　　做快乐的教师

做老师的心情常常是压抑的，但你应该努力营造快乐的环境，让学生快乐。你也得找到让自己快乐的窗口，让你每天都快乐，因为快乐的核心就是你自己。只有你真正快乐了，你才不会在这世界上留下太多的遗憾，只有你真正快乐了，你才无愧于你的职业。

- 作者： scgyydf 2005年04月20日, 星期三 19:07　回复（12） |　引用（0）加入博采

　　众所周知，不等式解法是不等式这一板块的高考备考重点，其中，含有参数的不等式的问题，是主考命题的热点，又是复习提高的难点。
　　（1）解不等式，寻求新不等式的解集；

　　（2）已知不等式的解集（或这一不等式的解集与相关不等式解集之间的联系），寻求新含参数的值或取值范围。

　　（3）注意到上述题型（2）的难度与复杂性，本专题对这一类含参不等式问题的解题策略作以探索与总结。

　　一、立足于“直面求解”
　　解不等式的过程是一系列等价转化的过程，对于有关不等式的“解”的问题，直面不等式求解，有时是问题解决的需要，有时是解决问题的基础或手段。所给问题需要在获得不等式的解集或最简形成后，方可延伸或突破时，则要果断地从求解不等式切入。
　　例1.设关于x的不等式
　　（1）解此不等式；
　　（2）若不等式解集为（3，+∞），求m的取值范围；
　　（3）若x=3属于不等式的解集，求m的取值范围

　　分析：着眼于不等式的等价变形，注意到这里m²>0,m²同乘以不等式两边，则不等式转化为ax>b型，于是可以x的系数a的取值为主线进行讨论。

　　解：
　　（1）由题设，原不等式 m（x+2）>m²+(x-3)　　 (m R，m≠0)
　　 (m-1)x>m²-2m-3　　　　 (1)
　　∴当m>1时，由（1）解得
　　当m=1时，由（1）得x R;
　　当m<1且m≠0时，由（1）解得
　　∴ 当 m>1时，原不等式的解集为
　　当m=1时，原不等式的解集为R
　　当m<1且m≠0时，原不等式的解集为

　　（2）若不等式的解集为（3，+∞），则由（1）知应得　　　　
　　∴此时m的取值范围为{5}

　　（3）注意到x=3 为不等式的解，将x=3代入（1）得：
　　3（m-1）>m²-2m-3 m²-5m<0 0<m<5
　　∴此时所求m的取值范围为（0，5）

　　点评：对于（2），已知含参不等式的解集，要求的是所含参数m的取值范围。对此，我们正是立足于（1）直面求解，由已知解集的特征断定m-1>0以及， m的取值或取值范围由此而产生。

　　例2．已知关于x的不等式组　的整数解的集合为{-2},求实数R的取值范围。

　　分析：由题设知,这一不等式组的解集只含有一个整数-2,那么当x= -2属于这一成员不等式时,该不等式的解集是何种情形,这需要解出不等式后方可作出结论,故考虑以求解这一成员不等式切入并延伸。

　　解：不等式x²-x-2>0 (x+1)(x-2)>0　　　　x<-1或x>2
　　∴不等式　　 x²-x-2>0的解集A=（-∞，-1）∪ （2，+ ∞），显然-2∈A
　　不等式2x²+(2R+5)x+5R<0 (x+R)(2x+5)<0　　　　 ①
　　设这一不等式的解集为B，则由-2 B，得：（-2+R）（-4+5）<0 R<2　　　　 ②
　　注意到（x+R）(2x+5)=0的根为x₁= -R，，
　　∴
　　(1)当时, 由①得 ,　即　　此时-2 B
　　(2)当时,由①得　　　　
　　∵{x|x A∩B,x Z}={-2}
　　∴ 　　 ③　　
　　于是由②、③得所求实数的取值范围为[-3，2）

　　点评：在这里，考察的重点是含有参数的成员不等式，设含参不等式2x²+(2R+5)x+5R<0的解集为B，而后首先由-2 B获得一个必要的R的取值范围，进而立足于这一范围。以含参不等式左边（x+R）(2x+5)=0的根的大小为主线引入讨论。

　　首先由整数元素的从属获得问题存在的必要条件，而后立足于必要条件对应的范围进行讨论，这是解决含数元素的集合问题的基本策略。

　　二、致力于“化生为熟”
　　化生为熟是解题的通用方略，正如一位俄罗斯女数学家所言：解题，就是把“要解的题”转化为“已经解过的题”。而对所给出的具体问题，如何化生为熟？则要根据问题的具体的条件与目标来决定问题转化的手段方向。

　　1、化生为熟之一：转化为二次不等式或整式不等式问题。
　　二次不等式是我们所熟知的事物，因此，如果问题可转化为二次不等式或整式不等式问题，则解题便胜券在握。

　　例1.若不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞），求a的取值范围。

　　分析：注意到所给不等式，故想到利用分式不等式的基本变形转化为整式不等式的解集问题。

　　解：不等式
　　 [（a-1）x+1](x-1)<0　　 [（1-a）x-1](x-1)>0　　　　 ①
　　解法一:（分类讨论）：由已知不等式解集的形式得：1-a>0且1-a≠1
　　以下以 ①式左边多项式的根与1的大小为主线展开讨论：
　　（1）当0<1-a<1即0<a<1时，
　　∴由①得x<1或
　　∴由题设条件得
　　（2）当1-a>1，即a<0时　
　　∴由①得或x>1这与题设条件不符
　　于是由（1）、（2）所得a的取值范围为{ }

　　解法二：（利用对一元二次不等式解集的认知）
　　原不等式 [（1-a）x-1](x-1)>0　　　　
　　又原不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞）　　
　　注意到一元二次不等式解集端值必为相应方程的根
　　∴
　　∴所求a的取值范围为

　　点评：这里“化生为熟”的手段是“不等式的等价变形”
　　一般地，若一元二次不等式（ax+b）（cx+d）>0
　　的解集为（-∞，x₁）∪ (x₂ ,+∞),则必需
　　（1）a·c>0
　　（2）x₁为方程ax+b=0或cx+d=0的实根；x₂为方程ax+b=0或cx+d=0的实根；

　　例2.若不等式的解集为(-3,-1) ∪[2,+ ∞）,求实数a的值

　　分析:对于这类不等式或比较复杂的分式不等式问题,例2的解题思路能起重要的启示作用.

　　解:原不等式 (x+a)(x²+4x+3) ≥0(x²+4x+3≠0)
　　 (x+1)(x+3)(x+a)≥0(x≠-1,且x≠-3)
　　设f(x)=(x+1)(x+3)(x+a)(x≠-3且x≠-1)
　　则原不等式 f(x) ≥0
　　由题设知 x=2为方程f(x)=0的根, ∴f(2)=0 a=-2
　　∴所求实数a=-2

　　点评：利用一元二次不等式ax²+bx+c>0的解集与一元二次方程ax²+bx+c=0的根之间的关系，可使问题简单化。

　　2、化生为熟之二：转化为集合间的关系问题，
　　集合既是数学中的原始概念，又是数学问题的基本载体。同样，集合间的关系既是数学理论的基础，又是问题转化的目标，关于两个不等式（或方程）的解的关系问题，向着集合间的关系问题转化，是化生为熟的主要方向之一。

　　例1.若对中的一切实数a，满足不等式 <b的x也满足不等式 ,求正实数a的取值范围。

　　分析：注意到各不等式的解组成集合，为将已知的两不等式的“解”之间的关系转化为两个集合之间的关系，首先从化简两个不等式的解集切入

　　解：设集合A={x| |x-a|<b}
　　则：A=(a-b,a+b)　　（1）
　　设集合
　　则：　（2）　　
　　由题设知A≤B，　　
　　故由①，②得：　　
　　注意到　　　
　　又　　　
　　∴由(3)得　　　　　　 (5)
　　同理由(4)得　　　　　　(6)
　　再注意到这里b>0,于是由(5)、（6）得b的取值范围为。

　　点评：当解题过程中出现二次三项式时，配方成为解题的基本方法与基本技巧。

　　例2.要使满足关于x的不等式2x²-9x+a<0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x²-4x+3<0和x²-6x+8<0中的一个，求实数a的取值范围。

　　分析：根据例1的解题经验，我们以求出有关不等式的解集切入，而后利用有关解集之间的关系突破。

　　解:设A={x|x²-4x+3<0}，则A=（1，3）；
　　B={x|x²-6x+8<0},则B=（2，4）；
　　∴A∪B=（1，4）
　　设C={x|2x²-9x+a<0}, 则由题设得　　 C A∪B，即C （1，4）
　　又设f(x)= 2x²-9x+a
　　则f(x)的图象是以直线为对称轴且开口向上的抛物线
　　∴由C （1，4）得{x|f(x）<0} (1,4)
　　
　　于是可知实数a的取值范围为

　　点评：上述解答进行了两次转化：第一次是转化为集合间的关系： C A∪B；第二次是注意到2x²-9x+a<0为二次不等式，于是在C A∪B=（1，4）的基础上，进一步将问题转化为已知一元二次不等式的解集，而这样的问题恰是我们所熟悉的，于是解题胜利在望。

　　配伍练习：
　　已知三个不等式：
　　（1）|2x-4|<5-x;　　
　　（2）
　　（3）2x²+mx-1<0 ，　　
　　若同时满足不等式（1）、（2）的x也满足（3），求m的取值范围。

　　点拨：此题的题面与例2颇为相似，若设不等式（1）、（2）、（3）的解集分别为A、B、C，则转化为有关集合间的关系，也颇为顺畅；只是在立足于A∩B C实施第二次转化时会遇到新的情况，如何完成第二次转化？请同学们实践中品味和感知。

　　3、化生为熟之三：转化为二次不等式
　　在含参不等式问题中,二次不等式恒成立的充要条件乃是我们正面解决含参不等式问题的唯一的理论依据:
　　ax²+bx+c>0　　对任何x R恒成立 a>0且Δ=b²-4ac<0;
　　ax²+bx+c<0　　对任何x R恒成立 a<0且Δ=b²-4ac<0;

　　而与上述不等式恒成立相互依存,相互支撑与相互转化的,是在其基础上滋生出的关于最值的命题：
　　μ＜f(x)恒成立 μ＜f(x)的最小值或μ≤f(x)的下确界
　　μ＞f(x)恒成立 μ＞f(x)的最大值或μ≥f(x)的上确界

　　例1.
　　（1）若对于任意X R恒有 ,求m的值
　　（2）已知不等式|x+1|+|x-2|>m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

　　解：
　　（1）注意到对任意x R，总有x²+x+1>0
　　∴对任意x R 恒成立
　　对任意x R 恒有3x²+2x+2>m（x²+x+1）成立
　　对任意x R 恒（3-m）x²+(2-m)x+(2-m)>0成立
　　
　　
　　注意到m N^*，　　 ∴m=1

　　（2）设f(x)=|x+1|+|x-2|,则f(x)>m对一切实数x恒成立
　　　m<f(x)的最小值　　　　（1）
　　∵f(x)=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3　 (当且仅当-1≤x≤2时等号成立)
　　∴f(x)的最小值为3　（当且仅当x [-1，2]时所得）　　（2）
　　于是由（1）（2）得m<3，即所求的取值范围为。

　　例2.若不等式对一切x R恒成立，求实数的取值范围。

　　分析：为化生为熟，首先考虑在不等式的等价变形过程中去掉绝对值，而后再转化为二次三项式大于0（或小于0恒成立问题）。

　　解：不等式　　
　　注意到
　　∴原不等式对一切x R恒成立 -5(3x²-2x+3)<x²+2mx+1<5(3x²-2x+3)
　　对一切x R恒成立
　　
　　
　　
　　∴所求m的取值范围为（-11，9）

　　点评：在原不等式等价变形过程中，化整为零，使各个部分都归结为二次型不等式恒成立的问题，这也是在应用解决数学问题通用的化整为零，灵活机动的战略战术.

　　例3.已知三个关于x的不等式：
　　(1)|2x-4|<5-x;
　　(2) ;
　　(3)2x²+mx-1<0　　
　　若同时满足不等式（1）（2）的x也满足不等式（3），试求m的取值范围。

　　分析：本例的条件与结论与例2颇为相似，于是考虑由例2的解题思路切入并延伸。

　　解：将（1）（2）联立，得：
　　
　　 0≤x<1或2<x<3
　　设不等式（1）的解集为A，（2）的解集为B　　（3）的解集为C
　　则有A∩B=[0，1）∪（2，3）
　　由题设知，即[0，1） ∪（2，3） C
　　∴再由题设知，当x [0，1） ∪（2，3）时，不等式（3）恒成立
　　当x [0,1） ∪[2,3]，时，不等式2x²+mx-1<0恒成立　　
　　注意到当x=0时，2x²+mx-1<0显然成立，
　　∴当x [0,1） ∪[2,3]，时，不等式2x²+mx-1<0恒成立　　　　
　　
　　设
　　则由1）得m<g(x)恒成立
　　 m<g(x)的最小值或m≤g(x)的下确界
　　注意到g(x)在（0，1）∪(2,3)内为减函数
　　∴g（x）<g(3)
　　又
　　
　　g(x)的下确界为
　　∴由（2）（3）得，即所求m的取值范围为

　　点评：题面与第一步的转化都与前面的例2“有着惊人的相似之处”，但是第二步的转化却有着明显的差异：前者是转化为已知二次函数f(x)<0的解区间（1，4）的充要条件，后者是转化为含参不等式的恒成立问题，大家在解题与总结时要注意比较品悟，这些“形似”但“神不似”的问题

　　三、借重于“变量转换”
　　当我们面对生疏复杂的无理函数或复合函数问题时，循着哲学中“量变促质变”的原理，可借重“变量替换”这一量的变换，促使有关问题向其对立的方向转化，转化为我们所熟悉的有理函数或比较简单的问题，以“量变”促发“质变”，乃是我们解决比较复杂问题的基本策略之一.

　　例1.若不等式的解集为（4，b），求a,b的值

　　分析：此类问题在一元二次不等式板块中经常出现。
　　注意到我们对一元二次不等式的认知：
　　ax²+bx+c>0的解集为（x₁, x₂） a<0且x₁, x₂为一元二次方程ax²+bx+c=0的实根。
　　ax²+bx+c>0的解集为（-∞, x₁）∪（x₂,+∞） a>0且x₁, x₂为一元二次方程ax²+bx+c=0的实根。
　　于是由此不等式所含的数和ax想到：借助换元，将所给问题，转化为一元二次不等式问题。

　　解：设t= ，则t≥0
　　且原不等式
　　∴由题设知关于t的不等式　　 (t≥0)的解集为（2，）
　　∴一元二次方程的两根为2，
　　∴由韦达定理得
　　由此解得
　　∴

　　点评：这里“化生为熟”的手段是“换元”，变量转换，是使问题完成从“无理”向“有理”的质的转变的重要手段.

　　例2．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是减函数，当x [0， ]时，f（sin²x-msinx+m）+f(-2)>0恒成立，求m的取值范围.

　　分析：注意到这里含有抽象的函数符号“f”，故首先想到通过“反用”单调性的定义脱去“f”，将所给问题转化为普通的不等式恒成立的问题；又注意到“f ”之下是关于sinx的二次三项式，为使有关不等式以及解题过程双双简明，考虑第二次转化时运用变量转换.

　　解：由f(x)为奇函数得-f(-2)=f(2)
　　∴f(sin²x-msinx+m)>-f(-2)　　当x [0， ]时恒成立
　　 f(sin²x-msinx+m)>f(2)　　当x [0， ]时恒成立　　　　 ①
　　令sinx=t,　　则由x [0， ]得0≤t≤1
　　∴由①得f(t²-mt+m)>f(2) 当t [0，1]时恒成立　　　　 ②
　　又∵f(x)在R上为减函数，
　　∴由②得　　 t²-mt+m<2　　当t [0，1]时恒成立　　　　　　
　　 m（1-t）<2-t²当t [0，1]时恒成立　　　　　　 ③
　　当t=1时，对任意m R都有m(1-t)<2-t²成立　　 ④
　　当t≠1时，令 g(x)= (0≤t<1)
　　则由③得m<g(t)　　（0≤t<1）恒成立
　　 m<g(t)(0≤t<1)的最小值　　　　 ⑤
　　∵g(t)= =
　　易知g(t)在[0,1）内递增，　　 ∴g(t)有最小值g(0)=2
　　∴由⑤得　　 m<2　　　　 ⑥
　　于是由④，⑥得所求m的取值范围为（-∞，2）

　　点评：回顾上述解题过程，在脱去符号“f“之后，首先借助换元，促使关于sinx的二次不等式恒成立的问题，转化为关于t的二次不等式恒成立的问题，完成化繁为简的第一次转化；在此基础上进而由对③式的“主元转换”切入，使问题进一步转化为g(x)= （0≤t<1）的值域问题，从而完成了化生为熟的第二次转化.

　　解决比较复杂的函数问题，问题转化往往不能一步到位，此例的解法，为我们提供了一个两次转化，自然顺畅的解题示范，请大家细细品悟.

　　四、尝试于“主元转换”
　　在数学问题中，主要变量之外的其它变数都称为参数（参量），然而，“主要”与“次要”是辩证的统一：它们一方面相互对立，另一方面又相互依存，相互联系和相互贯通，因此，在数学的解题研究中，当我们以熟悉的“主元”切入而面临繁难的境地时，则可考虑利用“主元”与“参数”之间的辩证关系实施“主元转换”；尝试以原来的参数作为“主元”进行考察，从而以全新的角度审视和分析问题，解题由此而引入新的境地，获得简明的解题思路与解题过程便在情理之中了.

　　例1.如果不等式2x-1>m（x²-1）对于m [-2，2]成立，求x的取值范围

　　分析：注意到这里限定m的范围，所以若将已知不等式视为关于m的一次型不等式，则所给问题便转化为：已知关于m的一次型不等式在m [-2，2]上恒成立，求其系数中所含x的取值范围，于是，利用一次函数的单调性便可轻易破解

　　解：原不等式（1-x²）m+(2x-1)>0
　　f(m)=(1-x²)m+2x-1
　　则f(m)为m的一次函数或常数函数，其几何意义为直线，
　　于是原不等式对任意m [-2，2]成立
　　
　　
　　
　　∴x∈

　　点评：上述解法的详细过程为分类讨论:
　　（i）当1-x²>0 -1<x<1时,f(m)在[-2,2]为增函数
　　∴由f(m)>0(-2≤m≤2)得f(-2)>0

　　(ii)当1-x²<0 x<-1或x>1时,f(m)在[-2,2]上为减函数
　　∴由f(m)>0(-2≤m≤2)得

　　(iii)当1-x²=0 x=±1时
　　当x=1时f(m)=1>0
　　当x=-1时f(m)=-3>0不成立,
　　综上(i)(ii)(iii)得所求的x的取值范围为

　　例2. 已知对于满足p=16sin³α,且α [- , ]的所有实数p,不等式log₂²x+plog₂x+1>2log₂x+p恒成立,求实数x的取值范围.

　　分析:由题设易得p [-2,2],所给不等式为log₂x的二次不等式,也可视为P的一次型不等式,由此想到以P为主元考察并转化问题.

　　解：由P=16sin³α, 　　①
　　又不等式log₂²x+plog₂x+1>2log₂x+p
　　 log₂²x+(P-2) log₂x+(1-P)>0　　 (以x为主元)
　　（log₂x-1）P+（log₂²x- 2log₂x+1）>0 (以P为主元)　　 ②
　　设f(p)=(log₂x-1)p+(log₂x-1)²　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③
　　注意到当log₂x=1即x=2时原不等式不成立
　　故f(p)为p的一次函数，并且由①②得所给问题等价于f(p)在区间[-2，2]上恒大于0
　　

　　
　　∴所求实数x的取值范围为

　　点评：在这里不可忽略考察（3）中P的关系log₂x-1=-0的料情形，事实上，当log₂x-1=0即x=2时原不等不成立，故这里x≠2，即这里的f(p)不存在为常数求的情形
　　若a,b [-11]且a≠b，则有
　　（1）判断f(x)在区间[-1，1]的单调性；
　　（2）解不等式
　　（3）若f(x)≤m²-2am+1对所有x [-1，1]，a [-1,1]恒成立，求m的取值范围。

　　分析：注意到这里f(x)为轴象数，故（1）的数解只能运用数的单调性定义，而f(x)的单调性一经确定，便为（2）的推理以及（3）的转化奠定理论基础。

　　解：
　　（1）设x₁, x₂ [-1,1]且x₁<x₂，则x₂- x₁>0
　　并且由题设得
　　∴f(x₁)-f(x₂)<0 ,即　　 f(x₁)<f(x₂)
　　∴f(x)在区间[-1，1]上的增区数。

　　（2）注意到f(x₁)定义域为[-1，1]，且f(x)在用区间[-1，1]递增，
　　∴利用增数定义为
　　
　　∴原不等式的解集为

　　(3)由(1)知f(x)在闭区间[-1,1]上为增函数　　　　　　 ①
　　∴ f(x) ≤m²-2am+1在x [-1,1], [-1,1]上恒成立　　 ②
　　 m²-2am+1(-1≤a≤1)≥f(x)　　 (-1 ≤x≤1)　　 ③
　　 m²-2am+1≥f(1)　　在a [-1,1]上恒成立
　　 m²-2am+1≥0　　在a [-1,1]上恒成立　　 (以m为主元　　 ④
　　 (-2m)a+m² ≥0　　在a [-1,1]上恒成立　　 (以m为主元　　 ⑤
　　当g(a)=(-2m)a+m²，则g(a)为a的一次函数　　　　　　　　 ⑥
　　∴由（5）（6）得　　 g(a)≥0在a [-1,1]上恒成立
　　 g(1) ≥0且g(-1) ≥0
　　 m≤-2 或m≥2
　　∴所求m的取值范围为（-∞,-m）∪[2,+ ∞]

　　点评：这里的解题经历三次视角的转化：第一次是由①到②，将f(x)在给定区间上递增，视为相关不等式在给定区间上恒成立；第二次是以②到③，将不等式与f(x)的最大值建立联系；第三次是从④到⑤，将关于m的二次不等式视为关于a的一次型不等式，由此，解题一步步转化，一步步走向熟悉与简明.

　　五、练习（高考真题）
　　1、（2005-辽宁卷）在R上定义运算 × ：x × y=x(1-y),若不等式（x-a） × (x+a)<1对任意实数x成立，则（　　）
　　A．-1<a<1　　　　 B. 0<a<2　　　　 C. 　　 D.

　　2、（2005-天津卷）已知m R，设P：x₁和 x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根，不等式|m²-5m-3|≥|x₁- x₂|对任意实数a [-1，1]恒成立；Q：函数在（-∞，+∞）上有极值，求使P正确且Q正确的m的取值范围。

　　3、（2005— 辽宁卷） 函数y=f(x)在区间（0,+ ∞）内可导，导函数f′(x)是减函数，且f′(x)>0，设
x₀ （0，+∞），y=kx+m是曲线y=f(x)在点（x₀ f(x₀)）处的切线方程，并设函数g（x）=kx+m
　　（1）用x₀ f(x₀),f′(x₀)表示m；
　　（2）证明：当x （0，+∞）时，g（x）≥f(x)；
　　（3）若关于x的不等式在[0，+∞）上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系。

　　分析与解答：
　　1、
　　分析：注意到我们对上面定义的陌生，故首先想到从本题对运算的定义切入，将有关不等式转化为普通不等式：
　　由所给定义（x-a） × (x+a)<1对任意x R成立
　　（x-a）(1-x-a)<1对x R恒成立
　　 x²-x+(1-a²+a)>0对x R恒成立
　　 Δ=1-4（1-a²+a）<0
　　 4a²-4a-3<0
　　　　故应选C

　　2、
　　分析：由P正确且Q正确推出m的范围
　　首先需要寻找命题P与命题Q成立时，变量m所满足的等价条件，故从命题P、Q的转化切入。

　　解：由x_1,x₂为方程x²-ax-2=0的两个实根，得
　　x₁+x₂=a，　　 x₁x₂=-2
　　
　　∴命题P正确不等式对任意实数a [-1，1]成立（1）
　　∵-1≤a≤1,　　 ∴8≤a²+8≤9,
　　
　　∴由（1）得命题P正确 |m²-5m-3|≥3
　　 m²-5m-3≤-3或m²-5m-3≥3
　　 m≤-1或0≤m≤5或m≥6
　　即当m （-∞，-1]∪[0，5] ∪[6，+∞]时，命题P正确　　　　（2）
　　又
　　f′(x)的图象是开口向上的抛物线
　　∴要使f(x)在（-∞，+∞）上有极值，只需f′(x)的最小值小于零
　　
　　 m<-1或m>4
　　即当m （-∞，-1）∪（4,+ ∞）时 ,命题Q正确　　（3）
　　于是由（2）、（3）知，当命题P、Q同时正确时，
　　m的取值范围由（-∞，-1）∪（4,5] ∪[6，+∞）。

　　点评：在这里命题Q的转化：注意到f(x)在R上可导，所以f（x）在R上存在极值，只需f＇(x)可取正值、负数与零值，又f＇（x）是二次项系数为正数的二次函数，且在R上连续，故只f＇(x)的最小值小于0，这一步步化隐为明的转化,值得我们品悟与借鉴.

　　3、
　　分析：
　　（1）注意到导数的几何意义，考虑从写出曲线y=f(x)在（x₀,f(x₀)）处的切线方程切入；
　　（2）注意到利用（1）的结果，有关函数的极值易于解决，故考虑设h（x）=g(x)-f(x)(x>0)，而后证明h(x)的最小值为0；对于（3）中的连号不等式，容易想到对其“一分为二”考察，而后“合二为一”结论.

　　解：
　　（1）由导数的几何意义得：
　　曲线y=f(x)在（x₀,f(x₀)）处的切线方程为
　　y-f(x₀)=f′(x₀)（x-x₀）
　　即y=xf′(x₀)+ f(x₀)- x₀f′(x₀)
　　∴ m= f(x₀)- x₀f′(x₀)

　　(2)证明：令h（x）=g (x)- f(x)　　　　　　
　　则h′(x)= f′(x₀)- f′(x),　　　　 h′(x₀)=0
　　∵f′(x)递减，∴h′(x)递增
　　∴当x>x₀时，　　 h′(x)> h′(x₀)=0
　　当0<x<x₀时　　 h′(x)< h′(x₀)=0
　　∴x₀是h（x）唯一的极值点，且是最小值点
　　又h(x₀)=g(x₀)-f(x₀)=0
　　∴当x R⁺时总有h(x) ≥h(x₀)=0
　　即当x （0，+∞）时，总有g(x)≥f(x)

　　（3）解：　　
　　注意到不等式在[0，+∞）上恒成立，易知a>0且0≤b≤1是所给不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立。
　　（i）关于x的不等式x²+1≥ax+b对任意x [0, +∞）恒成立　　　　 (1）
　　设g(x)=x²-ax+(1-b)，则g′(x)=2x-a
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　

　　(ii) 设 ,
　　关于x的不等式 ,对任意x [0，+∞）恒成立
　　 p(x) ≥0对任意x [0，+∞）成立　　　　　　（4）
　　　　令p′（x）=0得x=a^-3
　　∴当0<x<a^-3时 ,P′（x）<0;
　　当x>a^-3时 p′（x）>0
　　∴当x=a^-3时，p(x)取得最小值P（a^-3）　　　　 (5)
　　∴p(x) ≥0对任意x [0，+∞）成立 p(a^-3) ≥0
　　
　　于是综合(i),(ii)不等式的充要条件是：　　　　　　　　　　　　
　　易见存在a,b使成立的充要条件是
　　不等式
　　解此不等式得：
　　∴所求b的取值范围为
　　a与b所满足的关系式为

　　点评：循着由“粗略”到“精细”的顺序，首先考察所给连号不等式的某一局部成立的情形，从中寻出这一不等式成立的必要条件，于是，下面的讨论便可在这一条件下进行.如此，有效地减少了讨论的头绪，从而简化了整个解题过程 .

- 作者：清风明月 2006年11月17日, 星期五 23:45　回复（1） |　引用（0）加入博采

三角形中的数列问题（研究性学习）

　　
一、范例研究：
　　设在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，

　　范例1：已知a，b，c成等差数列
　　（1）证明：；
　　（2）证明：；
　　（3）求角B的范围.

　　范例2：已知a，b，c成等比数列
　　（1）证明：cos（A－C）＋cosB＋cos2B＝1；
　　（2）证明：；
　　（3）求角B的范围.

　　1、探索：运用正弦定理对已知条件变形、转化与延伸.
　　（1）第一次探索
　　a，b，c成等差数列
　　
　　
　　
　　
　　　　　　　　①
　　
　　
　　　　　　　　　　②
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③
注：范例1（3）求角B的范围请同学们自己思考

　　（2）第二次探索
　　a，b，c成等比数列
　　
　　 (第一阶段的转化与延伸)
　　（第二阶段转化与延伸的开始）
　　（第二阶段的转化与延伸）
　　
　　∴
注：范例2的（2）、（3）小问请同学们练习
　　2、小结
　　小结1：在△ABC中，若a，b，c成等差数列，则有
　　（1）2b＝a＋c；

　　（2）；

　　（3） .

　　小结2：在△ABC中，若a，b，c成等比数列，则有
　　（1）；

　　（2）；

　　（3） .

　　二、联想
　　联想是探索的先驱，人们在学习与研究中，总是在实践中获取真知，在认知中产生联想，进而由联想引发新的探索，由新的探索与发现促进认知的再次升华.注意到“等差数列”与“等比数列”仅一字之差，他们的性质大多有惊人的相似之处.由此我们联想到，上面已经认知的等差（或等比）数列条件下的三角等式两边，在等比（或等差）数列的条件下会是何种关系呢？

　　循着“相等”与“不等”相互依存的辩证关系，我们可以断言：一般情况下，等差（或等比）数列条件下的三角“等式”两边，在等比（或等差）数列条件下必是“不等”关系.我们需要进一步了解的是，如此变更条件之后，上述等式两边是否具有确定的大小关系？上述不等式两边，是否具有相等关系？

　　注意到等差数列与等比数列的密切联系，我们由等差（比）数列的命题联想等比（差）数列的情形.
　　　

　　三、再探索
　　立足于前面对范例1、范例2的证明与讨论，对联想中所提出的问题进行探索.

　　1、第三次探索：解决联想1提出的问题
　　在△ABC中，若a，b，c成等比数列
　　得：
　　

　　：
　　由第一次探索过程改造而成

　　：
　　由第二次探索过程改造而成

　　2、第四次探索：解决联想2提出的问题
　　在△ABC中，若a，b，c成等差数列 2b＝a＋c
　　（1）2b＝a＋c
　　
　　即

　　（2）：
　　由第二次探索过程改造而成

　　（3）
　　可由命题1的证明改造而成

　　四、再认知
　　有比较才能鉴别（毛泽东语），有鉴别才能有更深层面的感悟和认知.作为本节课的总结，我们对a，b，c成等差数列和a，b，c成等比数列的不同条件下的结论进行比较，从中品悟三角形三边成等差数列（或等比数列）的特性，以及在不同条件（a，b，c成等差数列或a，b，c成等比数列）下有关量之间的联系.

　　1、比较、品悟
　　在△ABC中，若a，b，c成　　　　　　　　　　　　在△ABC中，若a，b，c成
　　等差数列，则有　　　　　　　　　　　　　　　　　　等比数列，则有
　　（1）2b＝a＋c　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a+c
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　（2）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　

　　2、点评：对于上面每一组对应的命题，等号或不等号的两边，在“等差”或“等比”的不同条件下展示出“相等”与“不等”（一般情况下）的个性，凸现着对偶范畴间既相互对立，又相互依存和相互联系的辩证关系.

　　五、总结与自我训练
　　1、总结
　　（1）联想：
　　亲缘联想：联想“已知”或“目标”的亲密一方；
　　对立联想：联想“已知”或“目标”的对立一方.

　　（2）收获（思维、经验、认知等）

　　2、练习：
　　设在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
　　Ⅰ、自选习题
　　（1）若a，b，c依次成等差数列
　　试求
　　①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（学生自选、自解）
　　②　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（学生自选、自解）

　　（2）若A,B,C依次成等差数列
　　试求
　　①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（学生自选、自解）
　　②　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（学生自选、自解）

　　（3）若A,B,C依次成等比数列
　　试求
　　①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（学生自选、自解）
　　②　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（学生自选、自解）

　　Ⅱ、规定问题
　　1、若a，b，c依次成等比数列
　　试求：
　　（1）角B的取值范围；
　　（2）设t＝sinB＋cosB，求t的取值范围；
　　（3）设，求y的取值范围.

　　2、若a,b,c成等比数列，且

　　3、若A,B,C成等差数列
　　（1）的取值范围；
　　（2）若最大边长与最小边长的比值为m，求m的取值范围.

　　参考答案：
　　1、解：由题意得　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①
　　（1）由余弦定理得　　　　　　　　　②
　　∴由①②得　　　　　　　　　　　　　③
　　又　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④
　　∴由③④得
　　∴
　　注意到，
　　即所求B的取值范围为 .

　　（2）
　　∵ ，∴
　　∴
　　∴
　　即所求t的取值范围为 .
　　（3）设t＝sinB＋cosB，则
　　且
　　∴ （）
　　（）
　　∵
　　∴
　　∴
　　即
　　即所求y的取值范围为 .

　　点评：在已知条件下求出角B的取值范围，由此为求t及y的取值范围奠定了必要基础.

　　2、解：
　　（1）由a,b,c成等比数列得
　　又
　　∴
　　在△ABC中由余弦定理得
　　∴

　　（2）
　　解法一（运用正弦定理）在△ABC中由正弦定理得　　 ①
　　∵ ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②
　　∴由①②得

　　解法二（运用三角形面积公式）：在△ABC中由三角面积公式得
　　
　　　　　　　　 ③
　　∵ ，
　　∴由③得
　　
　　

　　点评：当已知式或目标式为三角形边角混合式时，通常首选正弦定理.但是，在条件适宜时利用三角形及其面积公式推理，也不免会收到出奇制胜的效果.本例解法二便是利用三角形面积公式解题成功的一个范例.

　　3、解：由A,B,C成等差数列得2B=A+C
　　又
　　∴

　　（1）
　　
　　＝
　　＝（运用和差化积公式）
　　＝
　　＝　　　　　　　　①
　　∵
　　∴
　　∴
　　∴
　　∴由①得
　　即所求的取值范围为

　　（2）不妨设A<B<C，
　　则＝
　　∵ 且A<C
　　∴cosC cosA即 cosA
　　∴ cosA
　　∴ 　　　　 ②
　　于是由正弦定理得：
　　＝＝＝　　 ③
　　∴由②得
　　∴由③得
　　∴m>1
　　∴所求m的取值范围为（1，+∞）.

　　点评：已知A,B,C成等差数列，既要想到利用由此导出的等量关系：；又要想到由此导出的不等关系，这里在A,B,C成等差数列的条件下，寻求三角形边角式的取值范围的关键环节之一.

- 作者：清风明月 2006年11月17日, 星期五 23:44　回复（1） |　引用（0）加入博采

函数奇偶性的认知与延伸

　　纵观中学数学的函数体系，函数象一棵长青的大树：函数的概念是“根”，函数的性质是“干”，函数的重要命题以及基本函数则是树干上生出的主要枝杈.其中，奇函数与偶函数作为对偶范畴，它们一方面相互对立，另一方面又相互依存，相互联系和相互贯通。

　　注意到奇函数与偶函数“本是同根生”亲缘关系，由偶函数性质引出的命题，与由奇函数性质引出的相应的命题，在具有鲜明个性的同时，又会“具有惊人的相似之处”。

　　认知函数奇偶性的本质，揭示函数图象的对称性与函数之间的联系，审题时便会目光犀利，入骨三分；解题时自然转换灵活，得心应手。

　　一、关于偶函数性质的认知与延伸
　　1、原型：函数f(χ)为偶函数函数f(χ)的图像关于y轴对称.
　　即　　对函数f(χ)定义域内每一个χ都有 f(–χ) =f(χ)
　　　函数y= f(χ)的图象关于直线χ=0对称

　　认知：函数关系式与对称轴方程之间的联系
　　（1）几何角度：数轴上χ与–χ的对应点关于点χ=0对称.

　　（2）代数角度：
　　
　　关系式：f(–χ) =f(χ)，即f(0–χ) =f(0＋χ)
　　对称轴：ｘ=0

　　2、延伸
　　（1）延伸之一：函数图象自身关于直线χ=a对称
　　我们由上述对对称轴χ=0展开联想：直线χ=0可视为直线χ=a的特例.此时，以“χ=a”替代“χ=0”，进而分别以a替代上述等式中的0（f(–χ) =f(χ)即f(0–χ) =f(0+χ)），便得出作为原型之引申的结论1.

　　

　　把握住函数关系式与对称轴方程之间的这一联系，如下结论便应运而生.

　　

　　

　　我们不难证明上述结论正确，上述三个函数图象自身关于直线χ=a对称的结论彼此等价，这为我们解决相关问题时灵活转换，巧妙变通提供了理论的支持.

　　（2）延伸二：两个函数图象关于直线χ=λ对称.
　　“一分为二”与“合二为一”是辩证的统一.不论是字面理解还是哲学意义，“一分为二”与“合二为一”都是既相互对立，又相互依存、相互联系和相互贯通的，注意到上述函数关系ƒ(–χ) =ƒ(χ)等均是两个不同函数 “合二为一”的产物，于是循着 “合二为一” 与“一分为二”的辩证关系，考察各个恒等式两边分别对应的一对函数之间的联系，寻出关于函数图象对称性的另一类结论.

　　（ⅰ）原型：函数y=ƒ(χ)与y=ƒ(–χ)的图象关于直线χ=0对称
　　探究：寻觅上述两个函数与它们图象的对称轴之间的联系，在“合二为一”的形式之下，我们考察的是两式相加，其和与对称轴的联系.循着对立联想的思路，如今在“一分为二”之后，首先想到考察相同位置的两式相减，其差与对称轴之间的联系：
　　

　　（ⅱ）延伸
　　循着延伸之一中结论的顺序，它们各自繁衍出新的不同结论.
　　结论1：
　　

　　结论2：
　　

　　结论3：
　　

　　结论4：
　　

　　例1.设f(χ)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线χ=2对称，已知当χ∈［-2，2］时，f(χ)=－χ^２+１，求当
χ∈［-６，－2］时的f(χ)的解析式.

　　解：从进一步认知f(χ)的性质切入，由函数 f(χ)的图象关于直线 χ=2对称知，
　　对任意χ∈Ｒ都有f(-χ)= f(χ+4)（为便于与“f(χ)为偶函数”这一条件建立联系而作出这一选择）
　　又f(χ) 为偶函数 f(-χ) =f(χ)
　　∴由以上两式得 f(χ+4) =f(χ)　　　　 ①
　　∴f(χ)为周期函数且4是 f(χ)的一个周期.
　　而当χ∈［-６，－2］时4+χ∈［-2，2］
　　∴由已知条件得　　 f(4+χ) =-(χ+4)²+1　　 ②
　　于是由①，②得　　 f(χ) =-(χ+4)²+1，
　　即当χ∈［-６，－2］时，f(χ)= －χ^２-8χ-15

　　例2.设f(χ)是定义在R上的偶函数，且 f(χ+3) =1-f(χ)，又当χ∈（0，1]时，f(χ)=2χ，求f(17.5)的值.

　　解：从进一步认知f(χ)的性质切入.
　　∵f(χ+3)=1- f(χ)　　　　　　 ①
　　∴注意到χ的任意性，在①中以-χ替代χ得
　　f(-χ+3)=1- f(-χ)　　　　　　 ②
　　又f(χ)为偶函数 f(-χ)= f(χ)　　 ③
　　∴由①、②、③得f(3-χ)= f(3+χ)
　　　　 f(χ)图象关于直线χ=3对称
　　　　 f(-χ)= f(6+χ)　　　　　　④
　　∴由③、④得f(χ+6)= f(χ)
　　即f(χ)是以6为周期的周期函数.
　　于是有f(17.5)=f(17.5－3×6)=f(－0.5)=f(0.5)　　　　 ⑤
　　再注意到当x (0,1]时，f(x)=2x,
　　∴由⑤得f(17.5)=f(0.5)=2×0.5=1

　　例3.设y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数，函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称，且当x [2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)³(a为常数且a R)
　　（1）求f(x);
　　（2）是否存在a [2,6]或a (6,+∞),使函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

　　解：
　　（1）设点M(x,f(x))为函数y=f(x)图象上任意一点，则点M关于直线x=1的对称点为N(2-x,f(x)).
　　∵y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称.
　　∴点N(2-x,f(x))在y=g(x)图象上.
　　由此得　　　　 f(x)=g(2-x)
　　（利用引申之二的命题易得这一结果：y=g(x)与y=g(2-x)的图象关于直线x=1对称）
　　设x [-1,0]，则2-x [2,3].此时f(x)=g(2-x)=-2ax+4x³
　　又f(x)为偶函数 f(-x)=f(x),x [-1,1].
　　∴当x [0,1]时，f(x)=2ax-4 x³
　　
　　（2）注意到f(x)为偶函数，只须研究f(x)在[0,1]上的最大值.
　　(ⅰ)当a (2,6]时，由0 x 1得a-2x²＞0，
　　f(x)=2x(a-2 x²)= ≤ =
　　（当且仅当4 =a－2 ,即x= [0,1]时等号成立）.
　　由题意知,f(x)的最大值为12,令 =12得 =486> ,
　　∴a>6,这与a (2,6]矛盾,故此时满足条件的a不存在.

　　(ⅱ)当a=2且0≤x≤1时,f(x)=4x(1－ )
　　同理可证 f(x)= (当且仅当2 =1- ,即x= 时等号�

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